在光成像系统的设计与应用中，畸变（distortion）是一种十分独特的几何像差。它并不影响成像的清晰程度，却会使景物中原本平直的线条发生弯曲，从而改变物像之间的几何相似性。不同应用对畸变的容忍度存在显著差异。普通摄影对畸变不十分敏感，超广角或鱼眼镜头的剧烈畸变甚至被当作极具视觉冲击力的创作手法；在双目自动驾驶等计算机视觉系统中，畸变会影响距离测量的准度，需通过几何标定获取相机内参，以补偿畸变带来的测距误差；而在航空测绘等高精度探测任务中，则必须采用结构极度复杂的低畸变镜头，将畸变控制在最小量级。在现代成像系统中，通过数字图像处理进行畸变校正的技术也已日臻成熟。上述事实使得畸变更多地作为一种现象被接受，除成像系统设计者外，似乎鲜有人探究其本质与成因。在本文中，笔者便从几何光学的基本规律出发，与您一同挖掘畸变背后的真相。
图1 摄影作品中常见的景物形变。左图与中图所示为透视产生的形变，右图所示为成像镜头产生的几何畸变。
（图像来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Perspective_(graphical)#/media/File:Railroad-Tracks-Perspective.jpg,
https://en.wikipedia.org/wiki/Perspective_(graphical)#/media/File:Canary_wharf_looking_up.jpg,
https://en.wikipedia.org/wiki/Perspective_(graphical)#/media/File:Boston,_Boylston_Street.jpg）
畸变的定义：畸变是主光线的行为
1858年，于苏格兰阿伯丁大学马里沙尔学院担任自然哲学教授的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在《纯粹与应用数学季刊》中发表了题为《关于光学仪器的一些性质》的论文。在该文中，麦克斯韦提出了光学仪器成完善像的三个条件。第一，单个物点发出的每一束光，在通过光学仪器后，必须会聚于（或发散自）像面上的单个点；第二，若物是一个垂直于仪器光轴的平面，则任意物点的像也必须位于一个垂直于光轴的平面上；第三，在该平面上的物所成的像必须与物保持几何相似性，无论其线性尺寸是否发生改变。麦克斯韦的分析告诉我们，除平面镜外，使上述三个条件同时成立的仪器并不存在。而不满足上述三个条件的现象，在几何光学上称为像差。
回顾历史，第一次在数学上系统描述、定义像差的是德国学者菲利普·路德维希·冯·赛德尔 (Philipp Ludwig von Seidel) 。1856年，时任慕尼黑大学教授的赛德尔在德文期刊《天文学通报》上发表题为《论折光学：关于决定非轴向光线穿过折射介质系统路径的三阶项展开》的论文。在该文中，针对旋转对称的共轴成像系统，赛德尔使用麦克劳林级数将折射定律中的正弦函数展开为多项式，而后在光线角度与孔径及视场之间建立了联系，并得到了五种与多项式中三阶项有关的单色像差（球差、彗差、像散、场曲、畸变），因此，这类像差称作赛德尔像差、三阶像差或初级像差。
赛德尔像差中的前三种（即球差、彗差、像散）是由通过孔径不同位置的光线无法会聚于（或发散自）一点造成的，故对应麦克斯韦的第一个条件，直接影响成像的清晰程度，且与孔径光阑大小直接相关。场曲虽不影响光线会聚的集中程度，却影响不同视场光束会聚的“速度”，导致平面物的像场出现弯曲，故对应麦克斯韦的第二个条件。虽然孔径大小不影响像面的形状，但对于半导体图像传感器这类平面的探测器来说，孔径的面积会影响光束的粗细与焦深，进而影响落在探测器上的光斑尺寸以及数字图像的清晰程度。畸变是指成像位置在理想像面上的移动，即使将孔径缩小到只能通过主光线，畸变依然存在，因此畸变是主光线的行为，畸变的唯一变量是视场位置。换言之，即使每个物点都能在理想像面上清晰成像，像点在像面上的位置也会因畸变而发生移动，从而形成扭曲的像，破坏像与原始景物间的几何相似性，对应麦克斯韦的第三个条件。
畸变对物、像间几何相似性的破坏，直观体现为将原始景物中非透镜子午面（即包含光轴的平面）内的直线段变为曲线段。畸变现象在摄影作品中十分常见，特别是超广角（鱼眼）镜头产生的强烈畸变。然而，并非所有的形变皆是由畸变造成的。如图 1 所示，三个图像中，铁轨与建筑物轮廓等三维空间中本来平行的直线段变得不再平行，这种形变是透视的几何投影造成的，受物距及视角影响，与成像镜头的特性无关，而右图中灯杆、路面、建筑物轮廓中的直线变为曲线则完全是成像镜头的畸变造成的。从相机几何标定（Camera Geometric Calibration）的视角出发，透视是相机外参（Extrinsic Parameters）的影响，而畸变则是相机内参（Intrinsic Parameters）的影响。
图2 小孔成像（左）与薄凸透镜近轴成像（右）示意图
畸变的现象级解释：横向放大率β不恒定
透镜成像的雏形是小孔成像，而小孔成像的核心特征之一便是无畸变，如图2中左图所示。对小孔成像而言，足够小的孔径方可保证成像足够清晰，然而孔径过小又会导致衍射加剧以及像面照度下降，这样的矛盾使得小孔成像无法得到广泛应用。凸透镜的光线会聚能力成功化解了这一矛盾，使得孔径增大的同时，成像质量也得以保证。对于薄透镜（即透镜的中心厚度远小于透镜表面的曲率半径）而言，在近轴近似（即入射光线与光轴的夹角足够小，且入射光线在透镜上的入射点离光轴足够近）有效的条件下，透镜本身也可以认为是无畸变的，如图 2 中右图所示（为方便读者观察，右图中的主光线角较大，故只作为示意之用）。如图2所示，同一垂轴物面PB上的A、B两个物点发出的光线，分别与垂轴像面P'B'交于A'、B'两个像点。不难看出，零畸变意味着像与物之间的横向放大率β恒定，即对给定物面上的任何一点成像后，其像高与物高的比例保持恒定。在图2中，我们可得到如下关系：
对于图2所示的小孔成像与薄透镜近轴成像，主光线均通过孔径光阑中心，也即像方与物方主光线有唯一顶点，故由式（1）可得
即零畸变的条件是：像方主光线角的正切与物方主光线角的正切之比应为一常数，又称为正切条件。那么，横向放大率为何会变化呢？答案与孔径光阑的位置有关。
图3 孔径光阑的位置与畸变。孔阑位于像方会造成正畸变（左），位于物方会造成负畸变（右）。
畸变的结构级解释：孔径光阑偏离系统几何中心
在图 2 的右图中，我们观察到，孔径光阑中心与理想透镜的几何中心（即光学中心）重合，这保证了系统相对于孔径光阑的对称性，也使得主光线在折射前后的传播方向不变，自然也就满足了正切条件。那么，假如二者不重合，会出现什么情况呢？在图3中，我们看到垂轴物面上有A、B两点，且B的物高是A的2倍，A、B两点被凸透镜分别成像于垂轴像面上的A'、B'两点。此时，假如孔径光阑在像方，如图3中左图所示，物方主光线（实线）会从凸透镜下半部入射，经透镜折射后，像方主光线角较结构对称时（虚线所示）更大，导致轴外的像点向远离光轴的方向移动，且物点离轴愈远，像点就愈“加速”远离光轴，造成正畸变。反过来，假如孔径光阑在物方，如图3中右图所示，那么，物方主光线会从凸透镜上半部入射，经透镜折射后，像方主光线角较理想情况更小，使得轴外的像点向靠近光轴的方向移动，且物点离轴愈远，像点就愈“加速”靠近光轴，造成负畸变。需要注意的是，如将凸（正）透镜换为凹（负）透镜，会呈现与上述现象相反的畸变。
图4 两种常见的几何畸变。正畸变又称枕形畸变（左），负畸变又称桶形畸变（右）。
如果景物是正方形，那么，正畸变会使四个顶点的像加速向边缘移动，因此四条边呈内凹状，形似软枕被头部挤压时的俯视图，故又称枕形畸变；而负畸变会使四个顶点的像向中心移动，四条边呈外凸状，形似欧式橡木酒桶，故又称桶形畸变。为校正和平衡像差，实际的成像镜头常包含多个镜组，且前镜组常成为后镜组的孔径光阑。典型的广角镜头通常采用前负、后正的镜组设计，相当于孔径光阑在凸透镜前，故常呈现桶形畸变；而典型长焦镜头的镜组结构常为前正、后负，相当于将孔径光阑置于凹透镜前，故常呈现枕形畸变。因镜片面型与镜组结构较为复杂，实际的成像镜头可呈现出正、负交错的畸变现象。
图5 对称结构的镜组在物距、像距相等时无畸变
畸变的物理级解释：光瞳球差诱发主光线出轨
为了更清晰地展示概念与原理，前面给出的均是示意图。接下来让我们借助光线追迹，对畸变进行更严谨的观察。我们将图2中薄透镜的理想对称结构进行延展，设计一个前、后两个透镜相对于孔径光阑互为镜像的对称结构。如图5所示，L1与L2是形状相同的两片透镜，相对于孔径光阑O互为镜像。由近轴近似可计算出对应的入瞳位置p1与出瞳位置p2。物面上A、W、B三点分别在像面上a、w、E三个位置成像。结构的镜面对称性，使得理想的物方主光线Bp1与像方主光线p2E相互平行（即主光线角相等），且主光线与L1、L2的交点b、d亦成旋转对称关系。换言之，在这个结构中，入瞳中心p1、出瞳中心p2同时为该系统的主点与节点。不难看出，实际的主光线BOE与理想主光线存在偏差，BC的延长线并没有指向入瞳中心p1，DE的反向延长线也并不是从出瞳中心p2发出的。如果将孔径光阑中心O看作轴上物点，就意味着O发出的光线并不能完美会聚于入瞳中心p1和出瞳中心p2，也即存在光瞳球差。图5所示系统的另一个特点是，物面 AB 与像面 aE 均处于 2 倍焦距处，即物距、像距相等。也就是说，物会成等大的倒立实像，即横向放大率为 -1。因此，物面上将A、B距离平分的物点W所成的像w也在a与E的正中间。有趣的是，无论物点B发出的物方主光线指向p1（近轴近似下）还是q1（图中所示情况），也无论像方主光线由p2发出（近轴近似）还是由q2发出（图中所示情况），像点E的位置并不会发生变化。若将图3的现象应用到这里，那么，孔径光阑置于L1后方会造成正畸变，而孔径光阑置于L2前方会造成负畸变，但由于结构的对称性，使得前组、后组产生的畸变相互抵消。也就是说，光瞳球差的存在的确会改变主光线角，但在图5所示的系统中，入瞳、出瞳的位置也随之改变，使得主光线角始终满足正切条件，故不会造成畸变。
图6 对称结构的镜组在物距、像距不等时形成畸变
这一切来得似乎过于完美，未免显得有些不太真实。在好奇心的驱使下，让我们寻找一个距系统更远的物面FG，根据物像共轭关系，我们知道对应的像距会减小，像面fg会离系统更近一些，如图6所示。物方实际主光线BC的反向延长线与物面FG交于Z，而近轴近似下的主光线Bb的反向延长线与物面FG交于G。相应地，像方实际主光线DE与像面fg交于z，而近轴近似下的主光线dE与像面fg交于g'。由于物点G比Z离光轴更远，因此实际上G的像g一定较Z的像z离光轴更远。然而，在近轴近似下物点G的成像位置是 g'。这里，我们发现，在物距、像距不等时，像与物失去了相对于光阑的严格对称性，此时，光瞳球差最终导致了畸变的形成。
图7 光瞳球差源于透镜有效焦距随主光线入射高度的变化而变化
畸变的终极解释：透镜的有效焦距（EFL）不恒定
顾名思义，光瞳球差是将入瞳中心作为物时，成像系统在出瞳处引入的球差。而球差的本质是轴上的物点发出的光线不能完美会聚于轴上的唯一理想像点。如果我们将孔径光阑置于一双凸透镜前，作为物，那么，孔径光阑本身也是入瞳，这时对入瞳中心发出的光线进行追迹，不难发现，这些光线经透镜折射后，与光轴的交点（也即出瞳位置）并不唯一。如图7所示，与近轴光线相比，折射前距光轴愈远的光线，折射后与光轴的交点愈靠近透镜，也即产生了负向离焦，且离焦量的绝对值与孔径大小正相关，而赛德尔球差正是孔径的函数。
我们知道，透镜的折射能力与焦距是紧密相关的。在镜头的规格中，有效焦距（EFL）往往是一个常数。然而，实际上这只代表近轴近似时透镜的折射能力，当孔径光阑的直径增大时，光线在透镜表面的入射位置以及入射角度均发生变化，而且透镜上的每一个孔径带（即孔径所在平面上，以孔径中心为圆心的同一半径范围对应的环形区域）的折射能力并不相同，导致实际的光焦度、有效焦距并不是一个常数。显然，图7中示出的透镜，其有效焦距随孔径增大而减小。
从分析的视角，将畸变归因于透镜焦距不恒定导致的光瞳球差当然是可行的。然而，图7中示出的光线为主光线，因此，实际上，畸变可直接视为镜头有效焦距随视场的变化导致的。不仅如此，镜头有效焦距的变化也是导致各种像差的最本质原因。随着工艺的日益成熟，非球面透镜愈来愈多地出现在各种成像镜头中，通过分析像差多项式，可以有针对性地设计出像差校正与平衡能力更强的透镜，以实现更高的成像质量。
畸变的测量
畸变对成像质量的影响是显见的，因此，在光成像系统的设计、开发、制造与应用中，对畸变进行测量均是十分必要的。根据原理的不同，常见的相机畸变测量方案大体可分为三类。

针对以上三类方法，研鼎均自行设计开发了相应的相机实验室与生产线方案，以满足不同行业、不同应用的多样化、个性化、精细化的畸变测量需求。
图8 RIQA图像质量分析软件——畸变测试
图9 RT-GCS V1(实验室版本)自动化程控内参标定系统
（1）支持针孔模型、小孔模型、鱼眼模型、MEI，可应用于多种摄像头类型
（2）支持的相机视场角范围28°~190°
（3）触摸屏电动控制，精度0.1°，支持API

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