在本系列文章的前两部分，我们探究了数字相机图像模糊的成因，并回顾了成像质量的传统评价方法——鉴别率（resolving power）。鉴别率虽然简单易用，但也存在判读结果受图案对比度与主观因素影响较大，以及判读结果无法全面反映系统性能等诸多不足，这就为光学传递函数的诞生埋下了伏笔。
1.光学传递函数的诞生
1936年，德国蔡司依康（Zeiss Ikon）公司的菲利塞（Hellmut Frieser, 1901-1988）提出使用亮度呈正弦函数变化的图案来检验鉴别率，随后发现，正弦图案成像后其亮度分布仍为正弦，只是振幅与位置会发生变化[1]。1938年，英国学者莱特（William David Wright, 1906-1997）在讨论电子扫描电视系统的光学问题时，提出了将镜头造成的对比度损失与电子线路的频率特性结合起来评价电视系统像质的设想[2]。20 世纪 40 年代起，法国学者杜费（Pierre-Michel Duffieux, 1891–1976）[3]、美国无线电公司（RCA）工程师赛德（Otto H. Schade, 1903-1981）[4,5,6,7]、英国学者霍普金斯（Harold Horace Hopkins, 1918-1994）[8]等人发表了一系列具有里程碑意义的著作，尝试将此前已应用于电子、通信、信号处理、声学、控制等领域的线性系统分析、傅里叶变换等理论与工具引入成像光学，一个崭新的领域——傅里叶光学亦由此诞生[9]。
上述理论探索与应用尝试均围绕着一个核心问题：对于景物和图像而言，如果光（电）成像系统可视作线性移不变系统，那么，亮度呈正弦函数分布的物所成的像仍以正弦规律分布，只是振幅与相位会受系统作用发生变化。因此，可使用振幅、相位的变化与正弦函数频率的关系来表征光（电）成像系统的固有特性，称为传递函数或频率响应。1954年，瑞典学者林白（Per Lindberg）提出采用狭缝（亮线）作为目标物测量镜头的传递函数[10]，随后各种测试方案陆续出现。1962年，在柏林召开的国际光学委员会（ICO）第6届大会上，图像质量分委会提交了报告，建议在英文中使用 transfer function、transfer curve、transfer factor 描述这一概念，并使用 optical、modulation、contrast、phase 等词说明具体含义[11]，此后光学传递函数（Optical Transfer Function）这一术语得到普及。自1994年起，关于光学传递函数的定义、测量方法、应用与准确性的ISO标准陆续发布[12,13,14,15,16,17]。在学术界、工业界、计量机构及标准化组织等的共同努力下，光学传递函数首先应用于镜头的像质评价[18,19,20,21]，随后在相机的设计、生产、评价等方面大显身手[22,23,24,25]。        
2.相机光学传递函数的测量方法        
从概念出发，光学传递函数反映的是物与像的频谱的差异，对相机来说，图像的频谱容易计算，因而只要物的频谱已知，就可以计算出光学传递函数。根据物的几何特征不同，可将相机的光学传递函数测量方法分为三类。    
图1 常用光学传递函数测试目标物
 (a) 点光源，模拟二维冲激函数。(b) 亮线，模拟一维冲激函数。(c) 直边，模拟阶跃函数。(d) 辐射式正弦图案。(e)随机图案。(f)直线形正弦图案。
第一类方法使用正弦图案[26,27]。此法可视为将鉴别率图案中的方波替换为正弦波，栅格状与辐射式鉴别率图案皆可转换为正弦分布。这是一种原始、简单且直观的方法，与鉴别率图案有着天然的联系。然而，使用此法得到完整的光学传递函数需分频率测量，不是需占用较大空间（将多个频率的图案集合在一起，从而无法准确测量某一视场的性能），就是需多次测量（每次测量一个频率，效率较低）。   
第二类方法使用扩散函数[28]。由傅里叶变换可知，如果将振幅恒为1、相位恒为0的所有频率的正弦波叠加，将得到冲激函数（也称脉冲函数、狄拉克函数）[29]。冲激函数常用来描述极短时间或极小空间内物理量的巨大变化，对成像来说，二维冲激函数描述了一个点物（即面积无穷小的光点）的亮度在平面上的分布。若冲激函数包含的所有正弦波均无失真地被相机传递，意味着它的像亦为冲激函数，这便是点物成点像的理想情况。如前所述，实际的相机会因各种原因使图像变模糊，无法完美传递各频率的正弦波，故点光源所成的像在图像中扩展为一个光斑，其亮度的分布称作点扩散函数（即系统的冲激响应）。我们知道，一个空间上扩展的物可视为许多物点的集合，而每一个物点的像质决定了图像的质量，因此点扩散函数是一个十分重要的概念，其傅里叶变换即为光学传递函数[30]。然而，点光源的光通量受限，导致像面照度较低，不利于图像的观察与处理，而且，二维的点扩散函数包含的信息过于丰富，不易解读。如果将许多亮点连成一条直线并作为物，那么，图像中线的亮度沿垂直于线的方向上的分布称作线扩散函数，其傅里叶变换即为该方向上的一维传递函数。实际测量时，常使用非相干光照明的狭缝，值得注意的是，狭缝的宽度与测量的准确度息息相关，假如狭缝过宽，就无法视为冲激函数。若将许多条亮线在一个区域内紧密排列在一起，那么有亮线区与无亮线区的交界处将形成锐利的边缘，这种分布称作阶跃函数，使用相机拍摄锐利的直边，所得图像中边缘的亮度沿垂直于边的方向上的分布称作边扩散函数。可以证明，边扩散函数的导数为线扩散函数，以阶跃函数（理想的边扩散函数）为例，其数值在原点处发生跳变，广义导数为无穷大，在其余位置的导数均为零，而这正是冲激函数（理想的线扩散函数）。与点和线相比，使用边缘的优势包括，光通量较大，可使光学传递函数简化为一维，而且，边缘型目标的实现较为简单（只需要加工一条直边，故得名刀口法）。不过，由于计算中需要求导，故此法对图像中的噪声较为敏感。
图2 边扩散函数、线扩散函数与光学传递函数间的关系。
在垂直于边缘的方向，对边扩散函数求导，可得到线扩散函数。在垂直于线的方向，对线扩散函数进行傅里叶变换，可得到光学传递函数。   
第三类方法使用随机图形作为物[31,32,33]。这类图形包括白噪声、枯叶图等，其特点是频谱已知且覆盖不同空间频率。   
通过以上三种方法得到物与像的频谱后，取两者的比值即得到光学传递函数。当空间频率为0时，频谱反映的是物和图像的平均亮度（各频率正弦波在这个水平上下波动），光在相机中传输时因反射、散射、吸收等存在一些损失，加之成像器的量子效率等影响，物与图像的亮度必然存在差异。在光学传递函数的计算中，我们并不关心这个绝对差异，而是更为关心正弦波的振幅与这个平均亮度的比值，因此，为了方便，一般以0频率时的数值将光学传递函数归一化。     

图3 
（a）对于亮度呈正弦变化的直线形图案，其变化规律为正弦函数，其空间频率为其周期的倒数1/p，其调制度为Ia/I0。（b）正弦函数目标物通过线性移不变成像系统得到的图像，与原始目标物相比，存在调制度的衰减，以及相位的变化（即实际成像位置与无畸变的理想成像位置之间的差异）。


图4 衍射受限条件下成像镜头的二维点扩散函数
（a）及二维光学传递函数（b）以及开口为正方形的感光元件的二维点扩散函数（c）及二维光学传递函数（d）。

图5 传递函数示意图。
像质较好（点扩散函数为圆对称）时的一维调制传递函数（a）与一维相位传递函数（c），像质较差（点扩散函数非圆对称）时的一维调制传递函数（b）与一维相位传递函数（d）。
3.调制传递与相位传递      
光学传递函数是空间频率的复函数，它的模称作调制传递函数（Modulation Transfer Function），反映了各频率正弦波的振幅（对比度）衰减，而它的辐角称作相位传递函数（Phase Transfer Function），反映了各频率正弦波相对理想成像位置的位移[34]。 
由傅里叶变换的性质可知，如系统的点扩散函数为实值偶函数，则光学传递函数亦为实值偶函数；如点扩散函数为实值奇函数，则光学传递函数为虚值奇函数[35]。例如，（镜头的衍射及球差、离焦等对称像差形成的）对称的点扩散函数是偶函数，只会造成调制传递函数的单调下降，而相位传递函数为零，全部信息均包含于调制传递函数中；单纯的畸变不改变点扩散函数的形状，故不影响调制传递函数，但成像位置的移动会使相位传递函数呈线性；（镜头的彗差、像散等非对称像差形成的）非对称的点扩散函数是奇函数，除造成调制传递函数的单调下降外，也会使相位传递函数呈非线性[36]。
对于实际的数字相机硬件（不包含图像处理方法），调制传递函数一般呈单调下降的形状，实际的截止频率一般由衍射或光电成像器的截止频率决定（取决于二者中较低的频率）。对于像差校正得较好的镜头，相位传递函数通常在频率较高时才变得较为显著，而此时调制传递函数已降到较低的数值，相位的影响不大[37]。因此，在摄影领域的光学传递函数计算及测量中，常以调制传递函数为主，忽略相位传递函数，然而，在不同应用中，需要谨慎对待相位传递函数的影响[38]。毕竟，光学传递函数是由两部分组成的，调制传递函数只反映出各频率正弦波的振幅衰减，而各频率正弦波分别以何种位置相互叠加的信息则隐藏在相位传递函数中。一个完美的调制传递函数搭配一个杂乱无章的相位传递函数，并不会提供优异的像质。

图6 数字相机硬件（即成像镜头与成像器）的调制传递函数常随空间频率的升高而单调下降。
振幅相同、频率不同的正弦波，通过这样的系统成像后，频率愈高振幅（亮暗对比）衰减得愈严重。   
图7 双曲线楔形鉴别率图案在成像前后的对比。
鉴别率图案的实质是方波，使用傅里叶级数可将方波展开为许多频率的正弦波的叠加。成像系统单调下降的调制传递特征，使得方波中的高频率正弦波的振幅衰减相对严重，损失了高频成分后的方波的波形表现为失去棱角。随着空间频率的升高，系统造成的振幅衰减愈来愈显著，方波中基波（与方波同频率的正弦成分）的衰减也变得严重，导致方波的振幅大幅衰减，亮暗的差异不再能分辨，此时的方波频率即为鉴别率。
相机硬件的光学传递函数一般呈单调下降的形状（即对高频正弦波振幅的衰减较低频严重），也就是说，相机可视作低通滤波器，我们可借此对鉴别率图案成像后变模糊这一现象稍作解释。我们知道，借助傅里叶级数，方波可展开为一系列不同频率的正弦波。换言之，零频率的直流分量提供了波动的平台，与这列方波同频率的正弦波为其提供了骨架，若以此为基础，以一定规律叠加频率更高、振幅更小的正弦波，波形就会由圆润渐渐变得棱角分明，叠加的正弦波数量愈大，结果就愈接近方波。因此，在从鉴别率测试目标物到像的传递中，方波损失了一些高频成分后，波形上体现为失去了棱角，主观上体现为图像锐度下降。从这个视角出发，既然方波的频谱已知，那么，使用鉴别率图案也能实现光学传递函数的测量，然而，测量结果需加以必要的转换，方可得到近似的光学传递函数[27]。 
4.光学传递函数的影响因素          
相机的光学传递函数是空间频率的函数，同时也与多个其他变量有关[39]。   
第一个变量为波长，因为衍射、色差与光子的吸收等均与波长有关，若使用非单色光源，光学传递函数还与相机的光谱特性有关；          
第二个变量为视场，彗差、像散、场曲等与视场有关的像差使得像面中心的像差最小，成像质量最高，周边相对逊色；          
第三个变量为方向，像散、彗差等非对称像差及感光元件开口的形状使得不同方向的点扩散范围存在差异；       
第四个变量为离焦量，由于像差的作用，不同空间频率、不同方向、不同视场的传递特性通常不会在同一个面同时达到峰值，故成像器相对于最佳像面的位置对传递函数有显著影响；          
第五个变量为镜头的孔径，因为孔径同时影响衍射与像差，还与像方孔径角及像元间的光串扰有关。
由此可见，若要全面描述一台相机的传递特性，可能需要多个不同条件下的光学传递函数，此外，测量光学传递函数前，需要明确上述变量，测量结果才有意义。  
5.光学传递函数作为像质评价方法的优势      
从不同视角出发，光学传递函数蕴含的意义不同，因此其用途也十分广泛。从电子和通信视角出发，光学传递函数表征的是一个系统在传递不同频率正弦函数时的保真能力。从信息工程视角出发，光学传递函数部分决定了系统传递信息的能力，可用于计算信息容量[40]。从像质评价视角出发，光学传递函数很大程度上决定了一个系统成像是否锐利，可用于计算反映主观锐度（sharpness）[41,42]的客观锐度（acutance）[43]，而锐度是影响清晰度（definition）的核心因素之一[44]。其中，使用光学传递函数评价相机的像质，有诸多优点，尝试列举如下：
1.光学传递函数的测量是完全客观的，消除了主观评价的不确定因素，却可以反映主观上的锐度感知；
2.光学传递函数，较基于点像的空间特征的评价更为简单直观，较鉴别率更为全面；
3.光学传递函数可由扩展的物（而非点源）得到，更接近摄影应用中的实际景物，结果更有意义；
4.可将系统设计目标中对像质的要求转化为光学传递函数，亦可由光学传递函数判断鉴别率；
5.光学传递函数可由设计数据计算得到，故可在产品设计时分析及预测像质，无需等待样机试制；
6.使用仪器、软件等可对光学传递函数进行实时测量，可满足大规模生产对效率的要求；
7.由设计数据计算出的光学传递函数，可与对实际产品进行测量得到的结果进行比较，以评估产品与设计的差异；
8.光学传递函数适用性强，既适用于镜头，也适用于成像器、图像处理及相机整机，甚至显示器件与人眼；   
9.一个系统的光学传递函数为其子系统光学传递函数的乘积，一定程度简化了复杂系统总体设计的难度；
10.有国际标准对光学传递函数的测量进行规范，遵循这些标准开发的测量仪器、软件等已十分成熟。   
6.数字相机的光学传递函数  
光学传递函数的概念，建立在系统满足线性且移不变这两个假设的基础之上。这里，线性是指系统的输出y与输入x之间满足叠加性关系，式中α，β为标量；即如果y1(n)=f(x1(n))，y2(n)=f(x2(n))，而移不变是指系统输出y的形状不随输入x的位移而变化，即如果y(n)=f(x(n))，则有y(n-k)=f(x(n-k))。假如一个系统同时满足线性与不变性这两个假设，那么，正弦波通过系统后仍为正弦波，只是振幅与相位可能受系统作用而产生变化。
对成像镜头来说，像质与视场有关，如果物的位置发生变化，那么像的位置发生变化的同时，像质也会随之变化。因此，严格地说，成像镜头并不满足移不变的假设，只在非相干光照明时满足线性的假设（由于非相干光的叠加是能量的叠加）。然而，如果将像面分割为很小的面元，那么，可以假设在每一个面元内像质保持不变，这样的面元称为等晕区，在等晕区内镜头可视为线性移不变系统。因此，光学传递函数适用于镜头。
对采用固态成像器的数字相机来说，大量离散的像元构成的探测器阵列，实际上是一个空间采样元件[45,46]。对每个像元，从光子经电子到电压的转换关系可视为线性。然而，离散的像元使得固态成像器不满足移不变的假设[47,48]。以冲激函数（小光点）为例，无论这个光点落在同一个像元的光敏区域的什么位置，像元电路的输出都是一致的，换言之，点扩散函数的位置不随光点的位置变化而变化，与移不变的概念相悖。若将小光点扩大为一个与单个像元的正方形光敏区内切的圆形光斑，那么，当光斑分别位于单个像元上、两个相邻像元间、四个相邻像元间时，在图像中将分别产生1、2、4个像元大小的亮斑，即输出信号的形状随输入信号的位置变化而变化，再次与移不变的概念相悖。也就是说，固态成像器满足线性假设，而不满足移不变这个假设[49]。因此，要将光学传递函数测量应用于数字相机，需先对光学传递函数的概念进行拓展，并对测量方法进行审慎地评估[50,51]。     
图8 固态成像器的移变性。
在一个像元的范围内，冲激函数（小光点）的位置变化不会引起像元输出的变化，换言之，成像器的点扩散函数不随冲激函数的位置变化而变化，因此，固态成像器不满足移不变的假设。
图9 固态成像器的移变性。
圆形光点的位置变化，导致成像器输出发生变化，换言之，成像器的输出信号形状随输入信号位置的变化而变化，因此，固态成像器不满足移不变的假设。

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